Centro di massa: definizione, equazione e formula (2023)

  • Scritto daVishnus_C
  • Ultima modifica 24-01-2023

Centro di massa: definizione, equazione e formula (1)

Centro di Massa:Ti sei mai chiesto perché il blocco la cui altezza è maggiore si rovescia più facilmente? Hai mai sentito parlare di bilanciamento della pietra o bilanciamento della roccia? Qual è il principio alla base? Ci sono numerosi esempi nella nostra vita quotidiana in cui usiamo consapevolmente o inconsapevolmente il concetto diCentro di Massa. Quindi qual è il centro di massa? Il centro di massa è un concetto molto importante in fisica. Questo concetto ci consente di analizzare i corpi rigidi che non sono dimensionati in modo semplice e più efficiente.

Sistema di particelle

Il sistema di particelle si riferisce a una raccolta di due o più particelle che possono o meno interagire tra loro. Qualsiasi forza interattiva tra le particelle del sistema è nota come forza interna e qualsiasi forza applicata da un agente esterno al sistema di particelle è nota come forza esterna. Le singole particelle del sistema possono esse stesse essere corpi rigidi.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (2)

È da notare che le particelle sono considerate avere volume zero, il che significa che hanno lunghezza zero, respiro zero e altezza zero; pertanto, sono di dimensioni puntiformi.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (3)

Corpo rigido

In scenari pratici, il più delle volte, non abbiamo a che fare con le particelle. Invece, abbiamo a che fare con corpi continui che hanno un certo volume e occupano spazio. Un corpo rigido può essere considerato un insieme di un numero infinito di particelle. I corpi rigidi sono indeformabili. Pertanto, la distanza tra due particelle costituenti qualsiasi rimane sempre la stessa. Cioè se segniamo due punti qualsiasi sul corpo rigido, quindi indipendentemente dall'orientamento del corpo rigido, la separazione tra i due punti non cambierà.

Esempio: un blocco di ferro.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (4)

Cos'è il centro di massa in fisica?

Se lanciamo una palla in aria con una certa angolazione senza alcuna rotazione, allora sappiamo che la palla seguirà il percorso parabolico, ma il movimento di un corpo che ha una forma diversa apparirà diverso per esempio, se lanciamo un martello, il martello avrà anche una certa rotazione e l'orientamento del martello in diversi casi sarà diverso.

Nell'esempio sopra, se analizziamo, troveremo un punto che segue il percorso parabolico. Questo punto è il centro di massa del martello.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (5)

Quindi, in generale, il centro di massa è un punto in cui si può presumere che sia concentrata tutta la massa del corpo rigido o del sistema di particelle. Usando questo concetto, possiamo analizzare il sistema di particella o corpo rigido in modo più semplice ed efficiente.

Centro di massa per sistema di particelle

Se consideriamo un sistema formato da due particelle, allora il centro di massa giace sulla linea che unisce le due particelle.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (6)

Il centro di massa sarà dato da,

\(\overrightarrow {{r_{{\rm{cm}}}}} = \frac{{{m_1}{{\vec r}_1} + {m_2}{{\vec r}_2}}}{{ {m_1} + {m_2}}}\)

Se consideriamo la prima particella all'origine e la seconda particella, aggiungiamo una certa distanza

Allora il centro di massa sarà,

\(\overrightarrow {{r_{{\rm{cm}}}}} = \frac{{{m_2}\left( {{{\vec r}_2} – {{\vec r}_1}} \right )}}{{{m_1} + {m_2}}}\)

Se le due particelle sono fuori massa uguale, il centro di massa si troverà nel punto medio della linea che unisce le due particelle.

\(\overrightarrow {{r_{{\rm{cm}}}}} = \frac{{\left( {\overrightarrow {{r_2}} – {{\vec r}_1}} \right)}}{ 2}\)

Per un sistema composto da un numero n di particelle,

il centro di massa è dato da

\(\overrightarrow {{r_{{\text{cm}}}}} = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n {m_i}\overrightarrow {{r_i}} }}{{ \mathop {\mathop {\sum {m_i}}\limits_{i = 1} }\limits^n }}\)

Dove,

\(\overrightarrow {{r_{{\rm{cm}}}}} \)è la posizione del centro di massa.

\({\vec r_i}\)è la posizione della particella.

\({m_i}\)è la massa della particella.

La velocità del centro di massa è data da

\(\overrightarrow {{v_{{\rm{cm}}}}} = \frac{{{m_1}\overrightarrow {{v_1}} + {m_2}\overrightarrow {{v_2}} }}{{{m_1 } + {m_2}}}\)

dove, \(\overrightarrow {{v_1}} \) e \(\overrightarrow {{v_2}} \) sono velocità delle particelle.

Centro di massa dei corpi rigidi

Poiché i corpi rigidi sono un volume continuo di massa, usiamo l'integrazione invece della sommatoria per trovare il centro di massa.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (7)

Il centro di massa di un corpo rigido è dato da

\(\overrightarrow {{r_{{\rm{cm}}}}} = \frac{{\int {\vec r} dm}}{{\int d m}}\)

Dove,

\(dm\)è l'elemento di massa differenziale.

\(\vec r\)è la posizione dell'elemento di massa differenziale.

Centro di massa di alcune figure comuni

Anello semicircolare

Centro di massa: definizione, equazione e formula (8)

Disco semicircolare

Centro di massa: definizione, equazione e formula (9)

Cono cavo

Centro di massa: definizione, equazione e formula (10)

Cono solido

Centro di massa: definizione, equazione e formula (11)

Emisfero cavo

Centro di massa: definizione, equazione e formula (12)

Emisfero solido

Centro di massa: definizione, equazione e formula (13)

Centro di massa e momento lineare

Il Centro di massa trova un'importante applicazione nei problemi legati alla quantità di moto lineare. Se non vi è alcuna forza esterna che agisce sul sistema, allora la velocità fuori dal centro di massa rimane costante anche se la velocità delle singole particelle del sistema cambia.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (14)

Esempio: se il corpo che si muove in un moto di proiettile esplode a mezz'aria e si rompe in un numero di particelle, ciascuna particella con la propria velocità. In questa situazione, non essendoci forze esterne, quindi il moto del centro di massa rimane invariato e segue una traiettoria parabolica.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (15)

Affinché un corpo rigido determini il momento lineare, si può presumere che qualsiasi forza esterna agisca sul centro di massa.

Centro di massa e momento torcente

Il centro di massa trova un ruolo importante nella comprensione del moto rotatorio.

Qualsiasi moto generale di un corpo rigido può essere rappresentato come nella combinazione di moto traslatorio e rotatorio.

Se la risultante di tutta la forza passa per il centro di massa, allora la coppia prodotta sarà zero e il corpo non avrà accelerazione angolare.

Il momento di inerzia rispetto al centro di massa è minimo.

Centro di massa e pseudo forza

Quando si analizza da un frame non inerziale, è necessario applicare una pseudo forza sul corpo per scrivere le equazioni di forza. La pseudo forza viene applicata al centro di massa del corpo.

Rovesciamento

Supponiamo che la parte rigida sia soggetta a una forza che produce una certa accelerazione e coppia attorno all'estremità della superficie a contatto con il piano su cui si sta muovendo. In un caso particolare, può accadere che la coppia prodotta dalla forza gravitazionale sul centro di massa diventi inferiore alla coppia prodotta dalla forza applicata attorno all'estremità della superficie a contatto. In questa situazione, il corpo rigido si ribalta o si ribalta nella direzione della forza applicata. questo fenomeno è noto come rovesciamento.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (16)

Centro di gravità

Per un corpo rigido, ogni elemento differenziale di massa subisce la forza gravitazionale, il centro di gravità è il punto in cui si può considerare concentrato il peso totale del corpo rigido.

Il centro di gravità di un corpo è un punto attorno al quale la coppia risultante dovuta alla forza gravitazionale è nulla.

I corpi di dimensioni minori, specie in altezza, avranno baricentro più baricentro nello stesso punto in quanto il valore dell'accelerazione gravitazionale rimane lo stesso per ogni elemento del corpo, ma se il corpo è di altezza significativa, la variazione dell'accelerazione gravitazionale diventa significativa allora il centro di gravità e il centro di massa non coincideranno.

Applicazione

Il centro di massa è una considerazione importante durante la progettazione di edifici, veicoli. Le turbine dei generatori dovrebbero essere perfettamente allineate con il baricentro.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (17)

Esempi risolti - Centro di massa

D.1. Tre masse sono poste sull'asse \(x\), \(300\;{\rm{g}}\)origin, \(500\;{\rm{g}}\)a \(x = 40 \;{\rm{cm}}\)e \(400\;{\rm{g}}\)a\(x = 70\;{\rm{cm}}\). La distanza del centro di massa dall'origine è
Risposta:
La posizione del centro di massa del sistema di particelle discrete è data come,

\({X_{{\rm{CM}}}} = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + {m_3}{x_3}}}{{{m_1} + {m_2} + {m_3}}}\)

dove\(m\)è la massa della particella.

\(x\)è la sua posizione.

Inserendo i valori, otteniamo,

\({X_{{\rm{CM}}}} = \frac{{(300 \times 0) + (500 \times 40) + (400 \times 70)}}{{300 + 500 + 400}} \)

Risolvendo otteniamo,

\({X_{{\rm{CM}}}} = \frac{{(500 \times 40) + (400 \times 70)}}{{1200}}\)

\( \Rightarrow {X_{{\rm{CM}}}} = 40\;{\rm{cm}}\)

D.2. Considera un sistema a due particelle con particelle aventi masse \({m_1}\) e \({m_2}\). Se la prima particella viene spinta verso il centro di massa di una distanza \(d\), di quale distanza deve essere spostata la seconda particella per mantenere il centro di massa nella stessa posizione?
Risposta:
Per mantenere il centro di massa nella stessa posizione, la velocità del centro di massa è zero. COSÌ,

\(\overrightarrow {{v_{{\rm{cm}}}}} = \frac{{{m_1}{{\overrightarrow {{v_1}}}} + {m_2}\overrightarrow {{v_2}}}} {{{m_1} + {m_2}}} = 0\)

dove, \({v_1}\) e \({v_2}\) sono velocità delle particelle \(1\) e \(2\), rispettivamente.

\( \Rightarrow {m_1}\frac{{{\rm{d}}\overrightarrow {{r_1}} }}{{\;{\rm{d}}t}} + {m_2}\frac{{{ \rm{d}}\overrightarrow {{r_1}} }}{{\;{\rm{d}}t}} = 0\)

COME

\(\left[\because {\vec v = \frac{{{\rm{d}}\overrightarrow r}}{{\;{\rm{d}}t}}} \right]\)

\( \Rightarrow {m_1}\;{\rm{d}}{\vec r_1} + {m_2}\;{\rm{d}}{\vec r_1} = 0\)

\({\rm{d}}{r_1}\) e \({\rm{d}}{r_2}\) rappresentano il cambiamento nello spostamento delle particelle.

Lascia che la seconda particella sia spostata della distanza \(x\),

\( \Freccia destra {m_1}(d) + {m_2}(x) = 0\)

\( \Rightarrow x = – \frac{{{m_1}d}}{{{m_2}}}\)

Qui, il segno negativo indica che lo spostamento della seconda particella è nella direzione opposta allo spostamento della prima particella.

Riepilogo

Le particelle sono adimensionali o di dimensioni puntiformi. Per un corpo rigido, la separazione tra due punti qualsiasi sul corpo rimane sempre la stessa. L'intera massa del sistema può essere considerata concentrata nel centro di massa. Per un sistema di due particelle di uguale massa, il centro di massa si trova nel punto medio della linea che unisce le due particelle.

Il centro di massa di un sistema di particelle è dato da,

\(\overrightarrow {{r_{{\text{cm}}}}} = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n {m_i}\overrightarrow {{r_i}} }}{{ \mathop {\mathop {\sum {m_i}}\limits_{i = 1} }\limits^n }}\)

Il centro di massa di un corpo rigido è dato da

\(\overrightarrow {{r_{{\rm{cm}}}}} = \frac{{\int {\vec r} dm}}{{\int d m}}\)

Per corpi rigidi uniformi, il centro di massa giace sulla linea di simmetria, se presente.

Il momento di inerzia è minimo rispetto al centro di massa.

Il centro di gravità è un punto attorno al quale la coppia dovuta alla forza di gravità è nulla.

Centro di massa: definizione, equazione e formula (18)

Domande frequenti sul centro di massa

D.1. Il centro di gravità coincide con il centro di massa?
Risposta:
No, il centro di gravità e il centro di massa hanno un significato diverso, ma quando consideriamo costante la gravità, il centro di gravità e il centro di massa coincidono.

D.2. Qual è l'espressione del centro di massa per le particelle?
Risposta:
Il centro di massa del sistema di particelle è dato da,
\(\overrightarrow {{r_{{\text{cm}}}}} = \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n {m_i}\overrightarrow {{r_i}} }}{{ \mathop {\mathop {\sum {m_i}}\limits_{i = 1} }\limits^n }}\)

D.3. Il centro di massa del corpo rigido può trovarsi all'esterno del corpo?
Risposta:
Sì, il centro di massa del corpo può trovarsi all'esterno del corpo se la forma del corpo è concava o il corpo è cavo.

D.4. L'esplosione di un proiettile a mezz'aria influisce sul moto del centro di massa?
Risposta:
No, il moto del proiettile non influisce sul moto del centro di massa in quanto l'esplosione è una forza interna.

D.5. Le particelle del sistema possono essere in movimento mentre il centro di massa è fermo?
Risposta:
Sì, il centro di massa può essere ancora fermo mentre le singole particelle sono in movimento.
Esempio: Pianeti che si muovono su un percorso circolare sotto l'influenza della loro reciproca forza di attrazione.

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Author: Rob Wisoky

Last Updated: 10/05/2023

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